Distribución de probabilidad y su relación con las ciencias médicas

Antes de entrar en detalle, es importante definir que es una distribución de probabilidad asi tenemos que la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una funcion que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria, la probabilidad de que dicho suceso ocurra, cada uno de los sucesos es el rango de los valores de las variables aleatorias.

Existen 2 tipos de variables aleatorias, las discretas cuyos valores sólo toman valores positivos de X finito o infinito numerable, y las continuas las cuales toman cualquiera de los infinitos valores existentes dentro de un intervalo.

En relacion a las ciencias medicas el porque es importante usar una distribució de probabilidad es evidente ya que esta le brinda al médico la posibilidad de obtener datos estadisticos de importancia cuyos valores pueden producir una prevención temprana de alguna eventualidad y gracias a ello la posibilidad de salvar mas de una vida, así como para conocer los valores normales de la población y usarlos para realizar comparaciones y determinar patologias mediante examenes de sangre etc. A continuacion un ejemplo.

Ejemplos

En la explosion de una bomba de gasolina terminan afectados los sectores a 1 km a la redonda de donde ocurrio la explosion, resulta que hay un increible numero de personas afectadas debido a que era una zona urbana muy poblada. El HULA se ve ve cargado de pasientes entonces los medicos deciden hacer una distribucion de probabilidad en el que puedan divirse la carga de pasientes con el fin de ellos quedarse con los mas graves y los demas ser traslados a centros clinicos.

Los medicos determinan que depende de cierta cantidad y gravedad de lesiones los pasientes se agruparan en Graves y No graves, los graves seguiran en el hospital y seran tratados en UCI y quirofano, mientras que los no graves seran trasladados de inmediato a las clinicas para ser atendidos. sabiendo que de  cada 10 personas que rescantan los paramedicos  6 estan en condiciones graves, determine la probabilidad de que de las proximas 15 personas 10 deban quedarse en el hospital por condiciones graves.

                                  15            5

P = (15/10).(0.6)  .  (0.4) = 0.014458

La probabilidad de que de las proximas 15 personas rescatadas, 10 esten en condiciones graves es de 0.014458.

Esperanza matemática:

    En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número E[X] que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.

En otras palabras:

La esperanza matemática o valor esperado de na variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

E( x )= X1 . p1 + X2 . p2 +......... Xi . pi = la suma de todas las Xi . pi

Sus propiedades son:

La esperanza matemática de una constante es igual a esa misma constante, es decir si c es una constante, entonces E[c] = c.

Linealidad

La esperanza es un operador lineal, ya que:

                         E[X + c] = E[X] + c
                         E[X + Y] = E[X] + E[Y] (*)
                         E[aX] = aE[X]
por ende: 
                         E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]

donde X e Y son variables aleatorias y a y b son dos constantes cualquieras.
Nótese que (*) es válido incluso si X no es independiente de Y.

        

Ejemplo:  

              Una Epidemia de dengue llega a la ciudad de Mérida, pero afecta gravemente a 2 comunidades de pocos recursos, se debe realizar un plan de acción rápido, sabiendo que esta enfermedad es de rápida propagación, se debe actuar el las siguientes 24 hora y se sabe que existe  una población aproximada de 3000 y  5000 personas, sabiendo que mientras mayor sea la población mayor es el riesgo de contagio, se tiene una probabilidad de  0.4 y 0.6 respectivamente, se desea conocer la cantidad de personas que podrían estar contagiadas ya que deben saber que cantidad de personal y dotaciones medicas tener a la mano.

E= 3000 x 0.4 + 5000 x 0.6 = 4,700

Se tiene que debe terse insumos médicos y personal médico mínimo para atender  personas contagiadas es de 4700.

Varianza:

La varianza muestral

Se puede definir como el "casi promedio" de los cuadrados de las desviaciones de los datos con respecto a la media muestral. Su fórmula matemática para el caso de datos referentes a una muestra es:

y para el caso de datos  de una población es dada por:

Propiedades de la varianza 

Dos propiedades importantes de la varianza son:

1.     La varianza de una constante es cero

2.     Otra propiedad importante es que si se tiene la varianza  s² de de un conjunto de datos y a cada observación se multiplica por una constante b, entonces la nueva varianza de los datos se obtiene multiplicando a la varianza de los datos por b²

Ejemplo: 

 un medico mide la altura de 5 bebes de 1 mes y tiene que: su estatutatura en mm es de 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm

entonces tenemos que:

Varianza: σ² =  206² + 76² + (-224)² + 36² + (-94)²  / 5 = 21,704
                                                                                         

Así que la varianza es 21,704.

Y la desviación estándar es la raíz de la varianza, así que:

Desviación estándar: σ = √21,704 = 147