Esperanza matemática:

    En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número E[X] que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado" en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.

En otras palabras:

La esperanza matemática o valor esperado de na variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

E( x )= X1 . p1 + X2 . p2 +......... Xi . pi = la suma de todas las Xi . pi

Sus propiedades son:

La esperanza matemática de una constante es igual a esa misma constante, es decir si c es una constante, entonces E[c] = c.

Linealidad

La esperanza es un operador lineal, ya que:

                         E[X + c] = E[X] + c
                         E[X + Y] = E[X] + E[Y] (*)
                         E[aX] = aE[X]
por ende: 
                         E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]

donde X e Y son variables aleatorias y a y b son dos constantes cualquieras.
Nótese que (*) es válido incluso si X no es independiente de Y.

        

Ejemplo:  

              Una Epidemia de dengue llega a la ciudad de Mérida, pero afecta gravemente a 2 comunidades de pocos recursos, se debe realizar un plan de acción rápido, sabiendo que esta enfermedad es de rápida propagación, se debe actuar el las siguientes 24 hora y se sabe que existe  una población aproximada de 3000 y  5000 personas, sabiendo que mientras mayor sea la población mayor es el riesgo de contagio, se tiene una probabilidad de  0.4 y 0.6 respectivamente, se desea conocer la cantidad de personas que podrían estar contagiadas ya que deben saber que cantidad de personal y dotaciones medicas tener a la mano.

E= 3000 x 0.4 + 5000 x 0.6 = 4,700

Se tiene que debe terse insumos médicos y personal médico mínimo para atender  personas contagiadas es de 4700.

Varianza:

La varianza muestral

Se puede definir como el "casi promedio" de los cuadrados de las desviaciones de los datos con respecto a la media muestral. Su fórmula matemática para el caso de datos referentes a una muestra es:

y para el caso de datos  de una población es dada por:

Propiedades de la varianza 

Dos propiedades importantes de la varianza son:

1.     La varianza de una constante es cero

2.     Otra propiedad importante es que si se tiene la varianza  s² de de un conjunto de datos y a cada observación se multiplica por una constante b, entonces la nueva varianza de los datos se obtiene multiplicando a la varianza de los datos por b²

Ejemplo: 

 un medico mide la altura de 5 bebes de 1 mes y tiene que: su estatutatura en mm es de 600mm, 470mm, 170mm, 430mm y 300mm

entonces tenemos que:

Varianza: σ² =  206² + 76² + (-224)² + 36² + (-94)²  / 5 = 21,704
                                                                                         

Así que la varianza es 21,704.

Y la desviación estándar es la raíz de la varianza, así que:

Desviación estándar: σ = √21,704 = 147